2.2 평행사변형이 되는 조건

HOOK

방향이 거꾸로 — 결과에서 시작하기

From property to proof — when does a quadrilateral become a parallelogram?

지난 시간에 우리는 평행사변형이면 어떤 성질을 갖는가를 배웠습니다. 정의(두 쌍의 대변이 평행)에서 출발해 네 가지 결과를 끌어냈죠.

이번 시간에는 화살표를 거꾸로 돌립니다. 어떤 사각형이 주어졌을 때, 어떤 조건이 만족되면 그것이 평행사변형이 되는가?

놀랍게도 — 지난 시간의 네 가지 성질 각각이 거꾸로도 성립합니다. 즉 "두 쌍의 대변의 길이가 같다"만 알아도, 그 사각형은 자동으로 평행사변형. 거기에 한 가지 새로운 조건이 더해져 — 모두 5가지 조건 중 어느 하나라도 만족하면 평행사변형입니다.

사각형 → ? → 평행사변형

FIVE CONDITIONS

평행사변형이 되는 5가지 조건

Any one of these makes a quadrilateral a parallelogram.

RULE OF FIVE

다음 중 어느 하나라도 만족하면 평행사변형

$\Box ABCD$의 다음 5가지 조건 중 어느 하나라도 만족하면 그 사각형은 평행사변형입니다. 정의(조건 ①)는 그 자체로 평행사변형이고, 나머지 4가지는 2.1의 네 성질의 역에 해당합니다.

01 DEFINITION

두 쌍의 대변이 평행

$\overline{AB} \parallel \overline{DC}$이고 $\overline{AD} \parallel \overline{BC}$. 평행사변형의 정의 그 자체.

02 SIDES

두 쌍의 대변의 길이가 같다

$\overline{AB} = \overline{DC}$이고 $\overline{AD} = \overline{BC}$. 두 쌍의 대변이 길이가 같으면 → 평행사변형.

03 ANGLES

두 쌍의 대각의 크기가 같다

$\angle A = \angle C$이고 $\angle B = \angle D$. 두 쌍의 대각이 같으면 → 평행사변형.

04 DIAGONALS

두 대각선이 서로 이등분

$\overline{OA} = \overline{OC}$이고 $\overline{OB} = \overline{OD}$. 두 대각선이 서로를 이등분하면 → 평행사변형.

05 NEW · 새로운 조건

한 쌍의 대변이 평행하고 길이도 같다

$\overline{AB} \parallel \overline{DC}$이고 $\overline{AB} = \overline{DC}$ (한 쌍의 대변이 평행 + 길이 같음). 한 쌍의 대변만으로도 충분하다는 강력한 조건! 정의처럼 두 쌍의 평행을 확인할 필요가 없습니다.

PROOF · 조건 5의 증명

$\overline{AB} \parallel \overline{DC}$이고 $\overline{AB} = \overline{DC}$이면 $\Box ABCD$는 평행사변형임을 보이라.

대각선 $\overline{AC}$를 그어 $\triangle BAC$와 $\triangle DCA$를 만든다.

$\overline{AB} = \overline{DC}$ (가정)
$\angle BAC = \angle DCA$ (엇각, $\overline{AB} \parallel \overline{DC}$)
$\overline{AC}$ 공통

⟹ SAS 합동으로 $\triangle BAC \equiv \triangle DCA$. 대응각에 의해 $\angle BCA = \angle DAC$. 이 두 각은 직선 $\overline{BC}$와 $\overline{AD}$가 직선 $\overline{AC}$에 의해 잘렸을 때의 엇각. 엇각이 같으므로 $\overline{BC} \parallel \overline{AD}$.

두 쌍의 대변이 모두 평행하므로 $\Box ABCD$는 평행사변형. Q.E.D.

INTERACTIVE

조건 판별기

Read each scenario — decide whether the quadrilateral is a parallelogram.

CONDITION CHECKER

다음 사각형은 평행사변형인가?

시나리오 1 · $\Box ABCD$에서 $\overline{AB} = \overline{DC} = 7$, $\overline{AD} = \overline{BC} = 5$이다.

풀이: 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다 — 조건 ② 만족 → 평행사변형.

시나리오 2 · $\Box ABCD$에서 $\overline{AB} \parallel \overline{DC}$이지만 $\overline{AD}$와 $\overline{BC}$는 평행한지 알 수 없다.

풀이: 한 쌍의 대변만 평행하면 사다리꼴일 뿐. 길이가 같다는 추가 정보가 없으므로 평행사변형이라 단정할 수 없다.

시나리오 3 · $\Box ABCD$에서 $\overline{AB} \parallel \overline{DC}$이고 $\overline{AB} = \overline{DC} = 8$이다.

풀이: 한 쌍의 대변이 평행하고 길이가 같다 — 조건 ⑤ 만족 → 평행사변형.

시나리오 4 · $\Box ABCD$의 두 대각선이 만나는 점을 $O$. $\overline{OA} = \overline{OC} = 6$, $\overline{OB} = \overline{OD} = 4$.

풀이: 두 대각선이 서로를 이등분 — 조건 ④ 만족 → 평행사변형.

시나리오 5 · $\Box ABCD$에서 $\overline{AB} = \overline{DC} = 6$이지만 $\overline{AB}$와 $\overline{DC}$가 평행한지 모르고, $\overline{AD} \ne \overline{BC}$이다.

풀이: 한 쌍의 대변이 같다는 정보만으로는 부족 (조건 ② 미충족: 다른 쌍은 다름). 평행 정보도 없음 (조건 ⑤ 미충족). 평행사변형이 아닐 수 있다.

QUICK CHECK

개념 확인 5

Quick checks on the five conditions.

Q · 01

$\Box ABCD$에서 $\overline{AB} = \overline{DC}$, $\overline{AD} = \overline{BC}$이면 평행사변형이 되는 조건은 몇 번?

풀이: 두 쌍의 대변의 길이가 같다 — 조건 ②.

Q · 02

$\Box ABCD$에서 $\angle A = \angle C$, $\angle B = \angle D$이면 어떤 조건?

풀이: 두 쌍의 대각이 같다 — 조건 ③.

Q · 03

한 쌍의 대변만 평행한 사각형의 이름은?

풀이: 한 쌍만 평행하면 사다리꼴. 두 쌍 모두 평행해야 평행사변형.

Q · 04

$\Box ABCD$에서 $\overline{AB} \parallel \overline{DC}$이고 $\overline{AB} = \overline{DC}$이면 어떤 조건?

풀이: 한 쌍의 대변이 평행하고 길이가 같다 — 조건 ⑤.

Q · 05

$\Box ABCD$의 두 대각선의 교점 $O$에서 $\overline{OA} = \overline{OC}$, $\overline{OB} = \overline{OD}$이면 어떤 조건?

풀이: 두 대각선이 서로 이등분 — 조건 ④.

WORKED EXAMPLES

예제 2제

Recognizing parallelograms from given conditions.

EXAMPLE · 01

$\Box ABCD$에서 $\angle A = 80°$, $\angle B = 100°$, $\angle C = 80°$이다. $\angle D$의 크기를 구하고, 이 사각형이 평행사변형임을 보이라.

핵심: 사각형의 내각의 합 $= 360°$로 $\angle D$를 구한 뒤 조건 ③ 적용.

STEP 1 · $\angle D$ 계산

$\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360°$이므로 $\angle D = 360° - 80° - 100° - 80° = 100°$.

STEP 2 · 평행사변형 판별

$\angle A = \angle C = 80°$, $\angle B = \angle D = 100°$. 두 쌍의 대각이 각각 같음 → 조건 ③ 만족 → 평행사변형.

답: $\angle D = 100°$, 조건 ③에 의해 평행사변형

EXAMPLE · 02

$\Box ABCD$의 두 대각선의 교점을 $O$라 한다. $\overline{OA} = \overline{OC} = 5$, $\overline{OB} = \overline{OD} = 4$. 이 사각형이 평행사변형임을 보이고 두 대각선의 길이를 구하라.

핵심: 두 대각선이 서로를 이등분하면 평행사변형 (조건 ④).

STEP 1 · 조건 확인

두 대각선이 서로를 이등분 → 조건 ④ 만족 → 평행사변형.

STEP 2 · 대각선 길이

$\overline{AC} = \overline{OA} + \overline{OC} = 5 + 5 = 10$. $\overline{BD} = \overline{OB} + \overline{OD} = 4 + 4 = 8$.

답: 조건 ④에 의해 평행사변형, $\overline{AC} = 10$, $\overline{BD} = 8$

PRACTICE

연습 8문항

★ basic · ★★ standard · ★★★ challenge.

P · 01★

$\Box ABCD$에서 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다. 이 사각형은 평행사변형인가?

힌트: 조건 ②.

P · 02★

$\Box ABCD$에서 $\angle A = \angle C$, $\angle B = \angle D$이면 어떤 사각형?

힌트: 조건 ③.

P · 03★

한 쌍의 대변만 평행한 사각형을 무엇이라 하는가?

힌트: 평행사변형은 두 쌍 모두 평행. 한 쌍만이면?

P · 04★★

$\Box ABCD$에서 $\overline{AB} \parallel \overline{DC}$이고 $\overline{AB} = \overline{DC} = 8$이다. 이 사각형이 평행사변형이 되는 조건은 몇 번?

힌트: 한 쌍의 대변이 평행하고 길이도 같다.

P · 05★★

$\Box ABCD$의 두 대각선이 만나는 점 $O$에서 $\overline{OA} = \overline{OC}$, $\overline{OB} = \overline{OD}$이다. 평행사변형 조건 몇 번?

힌트: 두 대각선이 서로를 이등분.

P · 06★★

$\Box ABCD$에서 $\overline{AB} = \overline{DC} = 10$, $\overline{BC} = \overline{AD} = 6$이다. 이 평행사변형의 둘레의 길이는?

힌트: 조건 ②로 평행사변형. 둘레 = $2(10 + 6)$.

P · 07★★★

$\Box ABCD$에서 $\angle A = 110°$, $\angle B = 70°$, $\angle C = 110°$이다. 이 사각형이 평행사변형이 됨을 보이라. $\angle D$의 크기는?

힌트: 내각의 합 $360°$로 $\angle D = 70°$. $\angle A = \angle C$, $\angle B = \angle D$ → 조건 ③.

P · 08★★★

$\Box ABCD$에서 $\overline{AB} = \overline{DC} = 7$, $\overline{BC} = \overline{AD} = 4$이다. 둘레의 길이를 구하고 평행사변형이 되는 조건 번호도 답하시오. (답: 둘레값,조건번호 형태로 입력)

힌트: 두 쌍의 대변 길이가 같다 → 조건 ②. 둘레 = $2(7+4)$.

평행사변형이 되는 조건